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昨天我们聊到了费马帕斯卡系统（Fermat Pascal System），这个系统其实是用来解一个被称之为点数问题（Problem
of Points）或者叫赌注分配的问题。这问题是这样子问的，有两个人在玩一个公平，胜率一样的游戏。他们约定谁先赢到某个场数的话，就谁获得最后的胜利，并且可以拿完所有的赌注。然而，现在游戏进行到一半，就被迫中止，请问，赌注应该要怎么分配才算是最公平的。
为了更容易解释费马和帕斯卡的解题思路，我们来假设一个场景，就是这两个人A和B，约定玩抛硬币的游戏。抛到头就A赢B输，抛到花就B赢A输。谁先赢到十场，谁就获得最后的赌注。但是现在游戏在A赢了8场，B赢了7场的时候中止，请问赌注要怎么分配才公平。注意，这只是其中的一个场景，点数问题问的，是设计出一个模型或者说系统，来解任意数量的先赢到场次，甚至是游戏中止的时候，A和B赢到任意场次，赌注又应该要怎么分配的问题。
昨天我们也说到了费马的解决方式，就是把剩下来的可能性全部表列出来，然后就可以根据这个表做出A可能赢几场，B可能赢几场的判断，从而知道了赌注应该怎么分配。所以，用我们的场景先赢十场就获胜，A赢8场，B赢7场的情况来看的话，表列出来就可以知道A有11种可能赢，B有5种可能赢，所以赌注应该要分成16份，给A11份，给B5份。
然而，帕斯卡却说，每次列完出来也太麻烦，剩下的场次如果比较多的话，那么就很难列完出来了。所以，我们可以把这个变成一个排列与组合的问题。就是把剩下来的这四场未进行的比赛，分为五种可能性，分别是A赢0场到A赢4场。每一种的可能性的数量可以通过排列组合中的不尽相异元素排列来获得，直接就是可以写成组合公式。也就是剩下的场次4场，选A赢的场次数量出来，并把他们加起来。有趣的事情是，帕斯卡试过将这些组合的数据排列出来，并得出一个叫做帕斯卡三角形的一个数列。我们就可以直接通过这个帕斯卡三角形的行数，对应剩下的场次，然后再看AB还要赢几场就知道他们赌注的分配方式了。比如说刚才那个例子，先赢十场的赢，A赢了8场，B赢了7场，游戏终止。那么这时候还要最多4场就可以分出胜负，所以我们就看帕斯卡三角形的第四行，也就是14641的那一行。哦，忘了说，最开始那个一是第0行。然后呢，A还要赢两场，B还要赢3场才算赢，所以，从左边数过来两个号码，1+4=5就是B能赢的场次，从右边数过来三个号码1+4+6=11就是A能赢的场次。如此一来，就可以很轻松的通过帕斯卡三角形判断谁赢谁输了。
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| 帕斯卡三角形 图片来源：https://math.stackexchange.com/questions/2974058/why-does-pascals-triangle-follow-a-pattern-using-derivatives |
这就是出名的费马帕斯卡系统。然而，这个系统对于我们自己的进步又有什么关系呢？查理·芒格曾经说过要有多元思考模型，他所建议的其中一个需要涉猎的思考模型就是这个费马帕斯卡系统。原因就是因为，这个费马帕斯卡系统是第一个放掉已经发生的事情，而采用未来可能发生的事情来作为考量的。换句话说就是使用期望值的思考方式。诚然，在以前大家一起争吵的部分，都是在吵已经完成的场次要怎么分配，是用总数量的比例，还是用领先的比例，还是怎样子来分配那个赌注。但是，大家似乎都没有把注意力放在未来还没有完成的游戏上面。费马与帕斯卡的讨论就是第一个往这个方向思考的，也因为这个讨论，导致了帕斯卡在接下来一个人请教他关于投骰子的问题的时候，他可以思考出一个叫做概率（Probability）的理论雏形出来。
没错，这个费马帕斯卡系统之所以出名，并不是因为他解决了一个赌注分配的问题，而是他开启了一个不一样的思考模式，考虑未来的期望值和概率的一个思考模式。当我们要决定做一件事情的时候，不要一味的望着已经发生了的事情来做决策，而是应该要放一点心思在未来会发生的事情上面，也就是所谓的期望值上面。这样，才可以做到查理·芒格所说的多元思考模型。
最后要问大家的问题就是，我们应该要怎样子做，才能够将概率思维和期望值思维融入我们的生活之中呢？欢迎在下方的留言区留言，和我分享讨论吧。
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天地海 著
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