每天都进步: 每天都进步#294 你应该要懂的其中一种数学，费马帕斯卡系统（上）

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今天我们再来聊一个数学问题，这问题很有趣，而且解答的模型被冠以一个名字叫费马帕斯卡系统（Fermat Pascal System）。顾名思义就是这个数学模型就是由这两个很出名的数学家，费马和帕斯卡一起弄出来，实际上，这个系统是通过费马和帕斯卡的来往书信中慢慢构建出来的。

好了，我们先来说一说问题，这个问题被称之为点数问题（problem of points），最早出现在达芬奇的数学老师，帕西奥利（Luca Pacioli）的教科书中。这问题如下，假设有两个人，命名为A和B。这两个人玩一个公平的赌博游戏，双方获胜的概率是一样的。然后他们两人约定玩到其中一方先赢到某个数量之后，他就可以赢得赌注。举个例子来说明吧，A和B约定玩投硬币，投到头就A赢B输，投到花就B赢A输。只要其中一个人先赢到十次的时候，他就获得最终的胜利，可以得到所有的赌注。好了，这时候问题来了，突然发生了某个事件，逼得这个游戏必须要在两个人玩到一半，没有任何一个人赢得最终次数的时候就要中止。那么这个赌注应该要怎么分配，才是最公平的分配。

这个赌注分配问题是一个很出名的题目，也是费马和帕斯卡通过书信互相讨论的一个题目。在他们互相讨论的过程之中，有人就提出了要用已经结束了的胜利局数来做赌注的分配比例。比如假设A赢了8场，B赢了6场，那么就将赌注分成14份，然后A拿8份，B拿6份。但是这样子的分配方式显然是不公平的，因为假如他们约定谁先赢十场就结束，还是谁先赢二十场才结束，明显就会有很大的不一样。先赢十场就结束的话，A领先两场有着明显的优势。但是假如是谁先赢二十场才结束的话，那么即使A领先两场，B也很有可能在后来追上来，并且获得最后的胜利。因此，用已经结束了的场次来决定赌注的分配，显然就不公平了。甚至还有另外一个极端现象，那就是他们约定要先赢100场游戏才结束，可是玩了第一场，A赢了之后就以1：0的情况结束的话，让A拿完所有赌注明显就不公平，因为在剩下来的场次里面，B是很有可能会赢到最后的。

因此，按照这个逻辑推论的话，我们就应该将赌注的分配放在未来还没有发生的场次里面。于是，费马就提出了根据这个思考模型整理出的一个解题思路，为了解释这个解题思路，我们就假设这是一场谁先赢十场，就谁赢得全部赌注的游戏。然后A赢了8场，B赢了7场，游戏在这时候终止。那么就等于A只要在接下来的赌局里赢下2场，A就获胜，B呢则是需要在接下来的赌局里面赢下3场，就能获胜。这就可以算出他们之间最多只需要再玩2+3-1，也就是4场就可以决定胜负了。那么在这四场里面，每一场都有两种结果，A赢或B赢。这就等于，一共会有2的4次方种可能性，把每一种可能性列出来，就好像现在荧幕上显示的那样了。荧幕上显示的AB符号分别代表该场次是A赢还是B赢。虽然说有先赢到十场就获胜的说法，但是在剩下4场游戏里面，如果A赢两场或以上的话，那么无论B赢多少场都是A获胜了，而如果B赢了三场的话，那么剩下的那场无论是A赢还是B赢都是B获胜。所以我们就可以从这16种可能性看出，A有11种赢的可能性，B有5种赢的可能性。因此，这个赌注就应该分成16份，A拿11份，B拿5份。

这个计算方式得到了帕斯卡的认同，不过帕斯卡认为，这样的计算太麻烦了。因为假如局数一多起来，不用多太多，就一样先赢十场就获得赌注，然后中止在A赢7场，B赢6场。只不过各少了一场，就会需要再玩最多6场才可以结束。然后就要列出一共2的6次方，合计64场。要列完64场，再判断谁赢也太麻烦了。所以，帕斯卡就用排列与组合的方式来判断这个赢的可能性。不过，今天的篇幅也差不多了，帕斯卡的方法我们明天再来和大家聊。