每天都进步: 每天都进步#666 圆周率的进展（三）伟大牛顿的推导

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今天我们继续来聊π的故事。昨天我们说到了，阿基米德在被杀了之后，π的计算就由其他的国家开始继承过去并进行演算。其中将这种阿基米德用增加多边形的边长数量来逼近圆的方法发扬光大，并且做到了极致的人，就是中国的祖冲之了。再然后呢，就因为有了印度人发明的阿拉伯数字和波斯人发明的代数知识，这个方法的计算就变得简单，也因此可以计算的边长数量变多了。

然而，无论这个方法变得再怎么多都好，下一个为π这个常数的计算贡献出一个典范转移的人，就是牛顿。鼎鼎有名的牛顿，而且还要是他在躲避伦敦瘟疫的时候，宅在家乡里的时候，做出的研究之一。没错，前几天关于牛顿的节目里面，我们说到了牛顿躲避这个瘟疫的时候，其实是他人生之中一个最重要的转折点，牛顿就在躲避瘟疫的这个阶段里面做出了他几乎一生人的贡献。包括了三大运动定律、万有引力、光学、微积分，等等的这些贡献，都是在这个时期的时候做出来的。这些贡献里面，就包括了我们今天要说的，牛顿对于π的计算做出了一次典范转移。

那么他是怎么做到的呢？首先我们先来看另一个课题，叫做帕斯卡三角形。所谓的帕斯卡三角形，是由一位古老的数学家帕斯卡研发出来的。在这个由数字组成的三角形里面，每一个数字都是由上面两个数字的和得到的。另外，后人基于这个帕斯卡三角形，发现到了(1+x)^n的展开式，他的系数竟然和这个帕斯卡三角形有关系。就好像(1+x)^2的展开式是1+2x+x^2，这个系数和帕斯卡三角形第二行的1，2，1是完全一摸一样的。再看(1+x)^5的展开式，1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5，和帕斯卡三角形的第五行1，5，10，10，5，1是一样的。

Pascal Triangle
图片来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle

牛顿在他的研究里面当然知道这些先备知识，不止如此，他还知道怎么计算第n行的第r个数字是什么数字，用的就是nCr这个公式。而nCr的展开式n(n-1)(n-2)...(n-r+1)/r!。于是，当你展开(1+x)^n的时候，你会得到这个一般式，这就是鼎鼎有名的二项式定理。当牛顿看着这个运用这种展开式写出来的公式时，他就忽然有一个想法，为什么n一定要代入一个正整数呢？我可不可以将n代入一些奇奇怪怪的数字，比如，代-1。想到就做，于是，牛顿得到了这个公式。

二项式定理
图片来源：自制

让我们来关注一下，左边的这个式子，是(1+x)^-1，代表的，是(1+x)的倒数。而右手边呢，我们会得到1-x+x^2-x^3+...到无限项数去。看到这个式子，牛顿就在思考，这个式子是不是正确的呢？于是他就简单的做一个验证。他将右式乘于(1+x)，也就是等于先乘于1，得到这个数列，在乘于x，得到这个数列。对应好他们的指数之后，将他们加起来。于是，牛顿就赫然发现到，这些项数刚好一正一负的全部抵消掉。最后得到的结果，是1。刚好和左式一样。因此，这确实证明了这个式子是正确的，换句话说就是，这个二项式定理，不止是可以代入正整数来查看展开式，还可以代入非正整数的数字，来得到一个无限的数列。

代入-1进入二项式定理
图片来源：自制

于是，牛顿就忽然发现到了另一件很可怕的事情。如果把n代入1/2 的话，那么就会得到(1+x)^1/2，这等于了牛顿可以得到sqrt(1+x)的无限数列了。再然后，如果将x转换成-x^2的话，就可以得到sqrt(1-x^2)的无限数列展开式了。那么问题来了，这个无限数列有什么特别的？

牛顿发现到重要数列
图片来源：自制

这数列很特别，因为一个半径为1的圆，他的标准式为x^2+y^2=1。将之进行一些移项之后，就可以得到y^2=1-x^2。换句话说就是，一个在x轴以上的圆，方程式就会变成y=sqrt(1-x^2)。而无独有偶，他刚刚发明了微积分。所以，他立马的就用微积分中求面积的积分概念，来得到int(sqrt(1-x^2,0,1)就等于了四分之一圆的面积这样的关系。

和四分之一圆面积有关
图片来源：https://www.scholr.com/ncert-solutions/area-lying-in-the-first-quadrant-and-bou/54795/

在当时候，牛顿虽然发明了微积分，但是对于sqrt(1-x^2)的积分是不会做的。但是，现在有了这个无限数列的展开式以后，他可以对着这个数列积分，在把上下限零和一代入之后发现，代入零会将整个数列变成零，因此可以忽略予以不计。而把一代入这个数列，等于忽略x以及他的指数，完全的就可以变成这个系数之和。于是，牛顿得到了这一个π的这个数列。这一个数列，只要对着它往下积分下去，你就会得到越来越精细的π。

得到了第一个计算的π的无限数列
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不过，这个数列其实很难越来越精细，因为你会发现到后面的数字还是很大的，还是很有影响力的。于是，牛顿进一步优化这个公式。他的积分只取0到1/2，那么从几何意义上来说，就是这一块面积。而这一块面积，其实等于了pi/12+sqrt(3)/8。于是，这只需要进行前5项的运算，你就可以得到了π=3.14161。这已经是刘徽运用1536边形所得到的结果相接近了。而牛顿只需要用前五项的计算。更不用说后来的那个用2的62次方的边的牛人相比，牛顿只需要用前50项就可以得到同样的近似值。