每天都进步: 十月 2021

2021年10月31日

每天都进步#670 费马最后定理（三）第一个做出贡献的人

大家好，欢迎收看每天都进步，这里是天地海课室，陪你每天进步1%。

今天我们继续来聊费马最后定理。昨天我们说到了，费马这一个人因为他的职业使然，所以导致了他的性格之中有着一种孤傲。这种孤傲配上他绝顶聪明的脑袋，就让他得到了不少在数学界里面让人哭笑不得的成就。其中他的遗物之中就留下来了这么一个定理。x^n+y^n=z^n，若n是大于2的正整数，则(x,y,z)没有整数解。关于这个定理，费马找到了绝佳的证明方法，可是因为余白太少，所以他就不写出来了。

这么让人生气的一句话，当然会激起数学家们想要证明他的欲望，无论是证明他是对的，还是错的都好，都想要简单的完整证明它。可是，这个定理的证明，却难道了全世界的数学家整整300年。在这300年的时间里面，几乎所有出名的，乃至于稍有名气的数学家，都要尝试解开这个问题，可是最后就硬是证明不出来。直到300年以后，才由一位名字叫怀尔斯的数学家证明出来了。而怀尔斯的成功，不是他一个人的功劳，而是无数数学家，为了证明这个定理而努力，研发出一个又一个切实可行的办法，犹如搭台阶似的，慢慢的靠近这个定理的证明。最后，才由这个怀尔斯踏出了这最后一步。

我们今天就要看看，看这个费马最后定理的证明，过程究竟是如何的？它又究竟给这个数学界带来了怎样的进步？首先，这费马定理被提出来之后的100年里面，几乎没有人可以取得任何有效的进展，直到100年之后，出了一个很有名的数学家，他的名字叫做欧拉。欧拉，全名是Leonhard Paul Euler，是一位瑞士人，出生于1707年，去世于1783年，享年76岁。欧拉这个人很了不起，在数学界里留下了很多很厉害的定理和公式。这欧拉就是第一个对费马最后定理做出了一定贡献的人，搭出了第一个台阶。

欧拉的肖像
Leonhard Paul Euler
图片来源：By Jakob Emanuel Handmann - Kunstmuseum Basel, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=893656

他是怎么做到的呢？首先他在知道了费马写这个费马最后定理的故事之后，就寻思，你在这里写不下，那么你会不会在哪个地方因为手痒而写下来呢？这些孤傲的数学家，喜欢做的就是秀智商，有这么一个秀智商的机会，费马没有理由不会心动。所以，欧拉就拿起了昨天我们说的那本，费马的游戏笔记，就是费马在《算术》这本书做的注释。欧拉拿起了这本书，好好的通读了所有的部分，研究研究费马这个人在其他题目中展现出来的智慧和思路。

结果，就真的给欧拉找到了一个线索。原来，费马在其他的题目里面，就有一个办法证明到了n=4的时候，这个费马最后定理是成立的。之后呢，欧拉就用回费马的这个思路，发现到费马最后定理在n=3的时候也成立。为了做这一集的内容，我有特地去找出这个证明过程，然后发现到我……看不懂。不过嘛，承认自己的智商比费马和欧拉低，并没有什么丢人，所以我就很干脆的认了。

话说回来，当欧拉发现到费马最后定理在n=3和n=4都成立的情况下，也就是都没有整数解的情况下，这个费马最后定理就被解决了一大半。为什么呢？因为如果费马最后定理的3次方成立，等于6次方也成立。这是因为如果3次方没有整数解，那么六次方的式子可以写成平方数的3次方。因此3次方已经没有整数解了，所以6次方自然也不会有整数解。这一整个推断，直接让n=3的倍数都成立。再以此类推到四次方的话，等于4的倍数也被证明出来了。3的倍数被证明了，4的倍数也被证明了，是不是所有的整数集合就被证明了一大半了啊？

后来，又过了大约50年，法国出了一个女性数学家，热尔曼（Marie-Sophie Germain）。她提出了一个全新的思路，这个思路就被后来的高斯用来证明了费马最后定理在n=5的时候是成立的。

热尔曼的肖像
Marie-Sophie Germain
图片来源：By Unknown author - http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Germain.html, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5403009

再然后，又过了十几年之后，又是法国的一个数学家，拉梅（Gabriel Lamé）运用热尔曼的思路，证明了n=7的时候，费马最后定理是成立的。再根据我们之前所说的，你证明了n等于一个质数是成立的时候，你就会连带证明所有这个质数的倍数都是成立的。因此，到这时候，这个费马最后定理的几乎所有数字都已经被证明了。不过，数学的好玩就在这里，我们有无限多的概念。其中3、4、5、7虽然已经被证明了，连带他们的倍数也被证明了。但是所有的正整数里还是有好多的数字的啊，甚至还是有很多的质数的啊。更恐怖的一点是，两千年前的欧几里得就证明过了，我们有无限多的质数，所以这费马定理自然也是有无限多的n需要被证明。

拉梅的肖像
Gabriel Lamé
图片来源：By Unknown author - http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/PictDisplay/Lame.html, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1702588

最后要问大家的问题就是，这样一个台阶一个台阶由无数人横跨整百年的往上搭上去，除了费马最后定理的证明以外，你觉得还有什么例子呢？欢迎在下方的留言区留言，和我分享讨论吧。

今天就讲到这里，如果你喜欢这一集的内容，就请你按赞并且分享给你的朋友。如果你认为我所制作的内容对你有所帮助的话，就请你不要吝啬于订阅我的频道，同时别忘了开启小铃铛，那么你就不会错过接下来的资讯了。天地海课室，陪你每天进步1%。我们明天见。

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2021年10月30日

每天都进步#669 费马最后定理（二）费马的一个小游戏

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今天我们继续来聊费马最后定理。昨天我们稍微聊了一下费马这一个人，以及费马最后定理究竟是一个怎样的定理。这定理用现代的数学语言来叙述的话，是这样的。在 x^n+y^n=z^n 中，当 n 为大于2的正整数时， (x,y,z) 没有整数解。这就是费马最后定理。其实，如果你仔细的看这个公式的话，你会发现到，当 n 是正整数的时候，它可以从1开始算。当 n 等于 1 ，则这是一个平面方程式，间中会有无数个整数解。而当 n 等于 2 的时候，这是一个毕氏定理式，其中可以满足这个方程式的整数解数量也是有无限多个。问题是，当 n 等于 3 或者大过 3 的时候，这个方程式就会忽然变成没有整数解了。这就是费马最后定理说的东西。

昨天节目的最后，我们介绍了费马这一个人。知道了费马是一位法官，而基于法官的职业操守，他不能出去结交朋友，喝酒娱乐。所以，他的娱乐方式就是解数学题，或者说得更高尚一点就是，研究数学。其中，他最后玩的一个游戏是，研究一本叫做《算术》的书。《算术》是一本由古希腊人丢番图整理出来的130道数学难题与解法，但是费马觉得这难题也并不是真的很难。于是，他就对这本书里面的题目做出修改，把它变难，然后看看自己是否解得出来。这就是费马在闲暇时的一个游戏。

在费马去世以后，他儿子整理费马的遗物，就发现到了一本书，就是这个费马在玩这个游戏的所留下来的笔记，其实也就是《算术》这本书的注解。里面就注明了很多的题目变换，计算过程，证明过程等等。然后，他儿子觉得，既然老爸在数学界里面有一定的影响力，那么不如把这本书出版了，赚一点稿费吧。于是，这一本费马的数学笔记遗物，就出版并卖到全世界去。

由于费马在数学界的影响力，这本书还是畅销的。结果，这本书里面所说的其他东西，都没什么大不了的。有些理论是对的，有些理论是错的，对的部分当然比错的部分还要多。但是，在毕氏定理的这个部分，留下了这么一句话。毕氏定理将一个平方数分成两个平方数之和，然而将一个立方数分成两个立方数之和，或将一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般上的将一个高于二次的幂，分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信发现了一种美妙的证法，可以证明它。但是余白太少了，我就不写了。

费马这个人嘛，在生的时候，就因为业余研究数学，得到了很多连全职数学家都得不到的成就，也就因此费马这个人变得有一点孤傲。这其实不难理解，结合他法官的职业，以及他在数学上的天赋，不难想象到这个人的性格。尤其是，当时候的世界，这些高深或者是难题的数学题，其实基本上没有什么实际用途，唯一的用途似乎就是用来秀智商的。这么难的题目你们都解不开，我解开了，所以我比你们聪明。大体就是这样的一个意思。所以话说回来，这费马的性格既然是那么的孤傲，所以他偶尔就会说出一些很让人生气，或者说哭笑不得的话。就比如这一句，我找到了一个绝佳的证明方法，可是这里位置太少我写不下，所以就不写了。不觉得就是很操蛋吗。

这全世界的数学家，看到了这么气人的一句话，就觉得有什么了不起的，我来证明看看。结果，死活就证明不出来。所以，这费马最后定理，在早期的时候就只能够被称之为费马最后猜想。因为，还没有被证明出来的理论，在数学界里面被叫做猜想。唯有完整而且严谨的证明出来之后，才能被称之为定理。而这个费马最后定理，是在经过了300年以后，才最终被一位名字叫做怀尔斯，全名Andrew John Wiles，的英国数学家，在1995年的时候证明了出来。

怀尔斯的肖像
Andrew John Wiles
图片来源：由Required text: "copyright C. J. Mozzochi, Princeton N.J"，Attribution，https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2635913

话虽如此，我们今天虽然把证明了费马最后定理的光环，放在了怀尔斯的身上，但是，他也不是从头开始，从零开始证明的。在整个数学历史发展的过程之中，很多的数学家前扑后续的在这个费马最后定理的证明上做出过努力。这费马最后定理能这么的出名原因也是在这里，因为几乎所有稍有名气的数学家都尝试过证明这个定理，可是最后却都失败了。但是，这些人的努力并没有白费，他们的努力化成了一个又一个的台阶，后人们因为这些台阶可以走得更高，但是于此同时也贡献出了另一些更高的台阶。就是这些台阶堆叠在一起之后，才最终让怀尔斯有足够的高度摘下这颗果实，成功的证明出费马最后定理。

今天的篇幅也用完了，我们明天继续聊这些数学家们，是怎样的一个又一个为这个定理做出了贡献的。

最后要问大家的问题就是，以前的人用数学来秀智商，那么你认为现代的人，是用什么来秀智商的呢？欢迎在下方的留言区留言，和我分享讨论吧。

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2021年10月29日

每天都进步#668 费马最后定理（一）定理的起源故事

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这几天我们一直在和大家聊关于π的故事，间中虽然有一些牵涉到数学的推导，但是大部分的内容主要还是集中在这故事的历史进展，以及这故事可以带来的启发。这π的故事已经讲完了，但是牵涉到数学的故事是有千千万万条的。其中有另一个也是很精彩的故事，就是关于一个被称之为费马最后定理，或者是费马大定理的故事。有趣的是，这故事对于喜欢数学的人来说，或许很常听到，但是也只是稍微听过了这个定理，和起源罢了。我之前也是如此，直到我看了一集的罗辑思维。这节目的主持人是一个文科生，他用历史故事和事件进展来聊这个费马最后定理，给了我不一样的感想和启发，因此，今天我就尝试根据他的节目来一个二次创作，融入我对于数学的见解，以及这故事对我的启发。

首先，让我们先来说一说，费马最后定理是什么。所谓的费马最后定理，是长这个样子的。x^n+y^n=z^n。当 n 是大于2的整数时，(x,y,z) 没有整数解，这个定理就是费马最后定理。好了，解释完了这个费马最后定理，接下来我们要来说的，就是费马这一个人。

费马的肖像
Pierre de Fermat
图片来源：By http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Fermat.html, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=36804

费马，全名是Pierre de Fermat。他是一个法国人，在1602年的时候出生，1665年去世，享年64岁。之后呢，最重要的一件事情是，费马这个人不是一个数学家，或者说本职工作不是数学，他是一位法官。在当时候的法国，法官是一个很值得让人尊敬的工作。一个让人尊敬的工作，社会地位很高的工作，自然也会有很多的要求。在当时候的法国，一位法官是不允许有混乱的私生活的，他不可以有朋友，也不可以出去和别人一起玩。这都是法官的职业道德，就是避免这法官被私生活和交情影响到自己判案的公平。但是，娱乐是人类的基本需求来的。那么，在不允许出去玩的情况之下，费马怎么娱乐呢？答案就是研究数学。

于是，这位费马，在平时业余的时候，就来解数学题打发时间。而很有趣的一点是，在从古老到当时候为止，数学都是一种用来秀智商的工具。毕竟，在数学的领域里面，有很多的理论，是没有什么实际用途的。努力的计算和研究，都只能够用来证明这个人有多么的聪明，有多么的厉害。这现象要到牛顿才有一点点缓解，因为牛顿厉害到了发明出很多用数学技巧来计算物理现象的定律。好，话说回来，费马在业余的时候研究数学来打发时间。他研究些什么呢？首先就是解一些难题，然后发现到所谓的难题也不是真的很难，于是就往更难的方向去挑战。结果，这一个挑战就越来越厉害，他直接挑战世界性的数学难题，挑战那些到目前为止都还没有人能够解出来的数学难题。这一个举动直接就是让很多的数学家脸面扫地了。

后来，这费马看看世界上的难题基本上都被解决了，于是他就开始研究一本叫做《算术》的书。《算术》这本书，是一位在希腊时期的数学家，丢番图（Diophantus of Alexandria），整理了130道数学难题和解法，然后收录而成的一本书。这本书非常的出名，基本上是希腊时期之后，所有学数学以及研究数学的人都会研究的一本书。于是呢，费马就研究这《算术》。但是，研究研究就发现到，这古人的数学也不是很难嘛。或许可能因为以前的数学技术没有那么多，所以有很多的定理不能使用，有很多的方法古人不知道。

丢番图整理的《算术》的封面
图片来源：公有领域, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=575665

之后，闲得蛋疼的费马，就开始了一个游戏，将这些收录在《算术》里面的题目修改一下，让它变难，然后来解一解看看做到没有。这一个游戏，玩得是一个刺激啊。在《算术》里面有一道题，叫做毕氏定理的证明。就是去证明这个x^2+y^2=z^2。这个对费马来说完全没有难度，于是费马就说，把2次方变成n次方，看看会有什么结果吧。就这样，费马最后定理就被弄出来了。

本来嘛，这一些只是费马在闲暇时候的游戏之作，所以就没有发表或是没有洋洋得意的去宣布。可是，后来，有为什么会变得那么的出名呢？今天的篇幅也用完了，所以明天才告诉你。

最后要问大家的问题就是，你有没有听说过费马最后定理呢？欢迎在下方的留言区留言，和我分享讨论吧。

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2021年10月28日

每天都进步#667 圆周率的进展（四）最后的总结

大家好，欢迎收看每天都进步，这里是天地海课室，陪你每天进步1%。

今天我们继续来聊π的故事。昨天的节目，其实有着很硬的数学推导，或许很多的人对这个没有什么兴趣，但是对于我这种对数学有一定程度的痴迷者来说，是一个很有趣的知识。然而，我今天这一集想要继续回到这个π的历史发展的分享上面来。我们来回顾一下这几天所说的内容。首先，π这个数字在很早期很早期的时候就存在了。其中第一次有数学家尝试计算π的近似值，是阿基米德，他用增加多边形的边长数量来逼近π的近似值的方法，得到了不错的成绩。后来中国的刘徽和祖冲之也用了同样的概念，不同的方法来计算π的近似值。之后呢，由于印度的阿拉伯数字和十进制的发明，以及波斯的代数观念的发明，让这个多边形的计算流程变简单，于是就有好几个很厉害的数学家用近乎天文数字的多边形边长数量，得到了π的近似值。

可是，在后来，出了另外一个大神，牛顿。牛顿将二项式定理做出一个颠覆性的改变，然后配合他的微积分知识，创造出了一个π的无限数列。虽然你可能会说，刘徽的割圆法严格意义来讲也是一个可以进行无限操作的程式，但是他却没有将之简化成一个只需要代入数字计算的数列出来。你也可能争辩说第一个π的无限数列的创作者，是印度数学家Madhava of Sangamagrama。但是历史上对于这个数学家是怎么得到这个数列的没有记载，我们只知道他得到了这个出名的莱布尼茨公式（Leibniz formula for π），甚至这个数列还不是以他命名的，而是以后来完善这个公式和证明的德国数学家Gottfried Wilhelm Leibniz 命名的。这个证明也是通过微积分来完成的，因此我才将把π的计算用无限数列的方法来计算的功劳，归功于牛顿。

正是因为牛顿的这个发现，打破了π的计算的典范，造成了典范转移。从他之后，数学家们计算π，就不再用增加多边形的边长数量这个办法，而是用各种理论来得到数列，并且找出更容易计算，更快逼近准确值的数列。比如，在1699年的时候，Abraham Sharp 就计算出了π的71位准确数字。1706年的时候，John Machin计算出了π的100位准确数字。1719年的时候Thomas Fantet de Lagny计算出π的112位准确数字。这个计算在经过了多两百年的发酵之后，迎来了另一个技术突破，电脑被发明出来了。

没错，你看这种无限数列，只需要重复进行运算，就可以得到越来越准确的数值，这样是一个很好用来检测看看谁的电脑运算能力是最强的一个办法。于是，π的近似值计算，就从由人手算，变成了由电脑算，而这时候π的准确小数位的突破就不再是归功于数学家，而是归功于电脑的程序员和改良者。在1949年的时候，D. F. Ferguson 和John Wrench就合力用一种电子机械式的计算机，计算出π的1120位准确数位。但是，在几乎同一年的时候，George Reiwiesner 和John von Neumann就带领他们的团队，用他们设计的ENIAC电脑，花了70个小时，计算出π的准确数位到2037位。如果你有追踪我们的频道，你就会有听过一个系列是影响深远的发明，其中一集说图灵机的发明里面，就提到了这一位John von Neumann是对电脑发明的贡献最大的人物之一。而ENIAC电脑，可以说是世界上的第一台电脑。因此，这一次π的计算，是历史上第一次用电脑来计算π的近似值。

历史接下来的发展，基本上就是看谁的电脑更厉害，用了更久的时间来突破π的记录。而到最近的2021年8月，这个纪录来到了62.8 trillion的准确位。换成华语是6.28兆，或者是6万2千8百亿的准确数位。而这个记录是由瑞士的一个超级电脑完成的。

其实，就像我之前说的，π这个数字的计算，有个6到7个小数位，基本上就很够用了。无论是工程学，还是数学，基本上都足够了。再往后计算这些小数位，基本上没什么用的，但是，为什么我们人类，却依然前扑后续的去计算这个π的准确值呢？这里有三个解释，第一个解释我比较能够接受，我们还要继续计算这个π的小数位，除了闲得蛋疼以外，还有一个很重要的原因，就是因为要用π来测试一架电脑，尤其是超级电脑的性能。只要你的电脑可以在更短的时间里面，打破以前的记录，那么就代表了你的电脑的性能比较强大。而计算π的准确值这种计算，无疑符合了让超级电脑高速运转测试性能的一个作业。

再来，第二个解释是，π是一个绝佳的随机号码抽取仪。如果你取π的后面2千亿个小数位，你会发现到这些数字里面，每个数字都是大约接近与相同的。所以，随机选择π的一个小数位，并且往后或往前取数字的话，你会得到一个相对不错的随机号码。而最后一个原因，我比较不喜欢，但是却又无必真实的原因是，这是因为我们可以做到。没错，正是因为我们可以计算π到那么多的小数位，所以我们就来计算出这么多的小数位。这证明了我们人类的科技实力有多么的厉害，这也证明了我们人类可以取得的成就除了飞上外太空到探索内子宫以外，我们还可以把一个这么虚无缥缈的常数计算到常人甚至是所有物种都无法想象的地步。这就值得人类持续的去探索。

最后要问大家的问题就是，听完了所有π的故事以后，你得到了什么样的启发呢？欢迎在下方的留言区留言，和我分享讨论吧。

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2021年10月27日

每天都进步#666 圆周率的进展（三）伟大牛顿的推导

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今天我们继续来聊π的故事。昨天我们说到了，阿基米德在被杀了之后，π的计算就由其他的国家开始继承过去并进行演算。其中将这种阿基米德用增加多边形的边长数量来逼近圆的方法发扬光大，并且做到了极致的人，就是中国的祖冲之了。再然后呢，就因为有了印度人发明的阿拉伯数字和波斯人发明的代数知识，这个方法的计算就变得简单，也因此可以计算的边长数量变多了。

然而，无论这个方法变得再怎么多都好，下一个为π这个常数的计算贡献出一个典范转移的人，就是牛顿。鼎鼎有名的牛顿，而且还要是他在躲避伦敦瘟疫的时候，宅在家乡里的时候，做出的研究之一。没错，前几天关于牛顿的节目里面，我们说到了牛顿躲避这个瘟疫的时候，其实是他人生之中一个最重要的转折点，牛顿就在躲避瘟疫的这个阶段里面做出了他几乎一生人的贡献。包括了三大运动定律、万有引力、光学、微积分，等等的这些贡献，都是在这个时期的时候做出来的。这些贡献里面，就包括了我们今天要说的，牛顿对于π的计算做出了一次典范转移。

那么他是怎么做到的呢？首先我们先来看另一个课题，叫做帕斯卡三角形。所谓的帕斯卡三角形，是由一位古老的数学家帕斯卡研发出来的。在这个由数字组成的三角形里面，每一个数字都是由上面两个数字的和得到的。另外，后人基于这个帕斯卡三角形，发现到了(1+x)^n的展开式，他的系数竟然和这个帕斯卡三角形有关系。就好像(1+x)^2的展开式是1+2x+x^2，这个系数和帕斯卡三角形第二行的1，2，1是完全一摸一样的。再看(1+x)^5的展开式，1+5x+10x^2+10x^3+5x^4+x^5，和帕斯卡三角形的第五行1，5，10，10，5，1是一样的。

Pascal Triangle
图片来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle

牛顿在他的研究里面当然知道这些先备知识，不止如此，他还知道怎么计算第n行的第r个数字是什么数字，用的就是nCr这个公式。而nCr的展开式n(n-1)(n-2)...(n-r+1)/r!。于是，当你展开(1+x)^n的时候，你会得到这个一般式，这就是鼎鼎有名的二项式定理。当牛顿看着这个运用这种展开式写出来的公式时，他就忽然有一个想法，为什么n一定要代入一个正整数呢？我可不可以将n代入一些奇奇怪怪的数字，比如，代-1。想到就做，于是，牛顿得到了这个公式。

二项式定理
图片来源：自制

让我们来关注一下，左边的这个式子，是(1+x)^-1，代表的，是(1+x)的倒数。而右手边呢，我们会得到1-x+x^2-x^3+...到无限项数去。看到这个式子，牛顿就在思考，这个式子是不是正确的呢？于是他就简单的做一个验证。他将右式乘于(1+x)，也就是等于先乘于1，得到这个数列，在乘于x，得到这个数列。对应好他们的指数之后，将他们加起来。于是，牛顿就赫然发现到，这些项数刚好一正一负的全部抵消掉。最后得到的结果，是1。刚好和左式一样。因此，这确实证明了这个式子是正确的，换句话说就是，这个二项式定理，不止是可以代入正整数来查看展开式，还可以代入非正整数的数字，来得到一个无限的数列。

代入-1进入二项式定理
图片来源：自制

于是，牛顿就忽然发现到了另一件很可怕的事情。如果把n代入1/2 的话，那么就会得到(1+x)^1/2，这等于了牛顿可以得到sqrt(1+x)的无限数列了。再然后，如果将x转换成-x^2的话，就可以得到sqrt(1-x^2)的无限数列展开式了。那么问题来了，这个无限数列有什么特别的？

牛顿发现到重要数列
图片来源：自制

这数列很特别，因为一个半径为1的圆，他的标准式为x^2+y^2=1。将之进行一些移项之后，就可以得到y^2=1-x^2。换句话说就是，一个在x轴以上的圆，方程式就会变成y=sqrt(1-x^2)。而无独有偶，他刚刚发明了微积分。所以，他立马的就用微积分中求面积的积分概念，来得到int(sqrt(1-x^2,0,1)就等于了四分之一圆的面积这样的关系。

和四分之一圆面积有关
图片来源：https://www.scholr.com/ncert-solutions/area-lying-in-the-first-quadrant-and-bou/54795/

在当时候，牛顿虽然发明了微积分，但是对于sqrt(1-x^2)的积分是不会做的。但是，现在有了这个无限数列的展开式以后，他可以对着这个数列积分，在把上下限零和一代入之后发现，代入零会将整个数列变成零，因此可以忽略予以不计。而把一代入这个数列，等于忽略x以及他的指数，完全的就可以变成这个系数之和。于是，牛顿得到了这一个π的这个数列。这一个数列，只要对着它往下积分下去，你就会得到越来越精细的π。

得到了第一个计算的π的无限数列
图片来源：自制

不过，这个数列其实很难越来越精细，因为你会发现到后面的数字还是很大的，还是很有影响力的。于是，牛顿进一步优化这个公式。他的积分只取0到1/2，那么从几何意义上来说，就是这一块面积。而这一块面积，其实等于了pi/12+sqrt(3)/8。于是，这只需要进行前5项的运算，你就可以得到了π=3.14161。这已经是刘徽运用1536边形所得到的结果相接近了。而牛顿只需要用前五项的计算。更不用说后来的那个用2的62次方的边的牛人相比，牛顿只需要用前50项就可以得到同样的近似值。