每天都进步: 每天都进步#747 贝叶斯定理（二）计算过程

2022年1月16日

每天都进步#747 贝叶斯定理（二）计算过程

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今天我们继续来聊贝叶斯定理。昨天我们说到了，所谓的贝叶斯定理，就是一种叫条件概率的课题。而要清楚的解释这个课题，我们可以借助《快思慢想》这本书里面的一个例子，我把这例子叫做计程车撞后逃事件。这问题是这样的。

在一个城市中，有85%的计程车是绿色的，15%的计程车是蓝色的。有一天，发生了一起计程车撞后逃事件，目击证人说，计程车的颜色是蓝色的。根据现场的灯光因素，这个目击证人看错颜色的概率是20%，看对颜色的概率是80%。那么请问，这个肇事计程车的颜色是蓝色的概率是多少？

要解这道题，我们先定义好符号，首先我们就用B来代表蓝色计程车肇事，G来代表绿色计程车肇事。再来，我们还要定义目击证人看对颜色还是看错颜色，就用S表示目击证人看到蓝色这个事件。这些英文字母直接就是英文字Blue，Green，See的首字母，这也方便我们继续的往下推导。

贝叶斯定理的公式
图片来源：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%9D%E5%8F%B6%E6%96%AF%E5%AE%9A%E7%90%86

接下来，我们来看看每一个符号我们要放什么数字，以及这个题目要我们找的概率是什么。题目问的是肇事计程车是蓝色的概率是多少，这个问题其实是指这个目击证人看到肇事计程车是蓝色的话，肇事计程车真的是蓝色的概率是多少。换句话说就是，目击证人看对为条件，计程车的颜色是蓝色的概率，也就是P(B|S)。那么，根据贝叶斯定理，我们更换成我们要的符号，就是荧幕上所显示的这个公式了。

根据我们定义的贝叶斯公式
图片来源：自制

好，接下来我们要找出右式所有概率的数字是多少，让我们一个一个看。首先先来看P(B)，这是代表计程车是蓝色的概率，所以这个很简单，就是0.15。再来，P(S|B)，这个代表的是，已知计程车是蓝色的情况下，目击证人说这是蓝色计程车的概率，也就是他看对的概率，所以这是0.8。至于最后的一个P(S)，说起来就有点复杂了，因为这代表的是，这位目击证人会说是蓝色计程车的概率。注意，是在没有任何其他外力因素之下，这位目击证人会说这是蓝色计程车的概率。这就无法直接从题目里面找到数字，而是要稍微计算一下。由于现在的整个状况里面，只牵涉了蓝色和绿色的计程车。所以，目击证人会说这是蓝色计程车的事件，可以被分成两种情况，第一个是他遇到的是蓝色的计程车，然后他说遇到蓝色的，也就是他看对了，第二个则是他遇到的是绿色的计程车，可是他说是蓝色的，也就是说他看错了。把这两个情况加起来，就是他说蓝色计程车的概率。

现在，我们已经把所有的状况分析了一遍，自然可以顺利的把所有数字代入进去。计算出来之后，得到的答案是0.4138，也就是我们之前说的41%的概率，肇事的计程车是蓝色的概率是41%。