每天都进步#61 数学与科学的差别

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这两天和大家聊了毕氏定理和毕达哥拉斯这两个数学上的话题，今天我们就来一点不一样，但是又有关联的话题。那就是，数学和科学的差别到底在哪里？

诚然，就好像昨天我们说过的那样，毕达哥拉斯是第一个以严谨的逻辑证明出直角三角形的边长关系的数学家，也因此这个定理就以他来命名。而比毕达哥拉斯早了五百年的勾股定理却不被数学界接纳的原因也在这里。但是，这个情况在科学上面是否就是如此呢？答案是不一定。因为，科学的定理与研发牵涉到了观察与假设，然后再通过实验证明。观察，是科学进步的主要贡献，没有人类巨细靡遗的观察，就不会有科学的定理或猜想被假设出来，也就自然不会有实验来证明。然而，科学界仰赖的观察在数学上面就不是很好使用了。简单的举一个毕氏定理的例子吧，假设一个直角三角形，两条直角边的边长分别是3.5和4.5，通过观察或者说测量，我们得到斜边的长度大约是5.7。通过毕氏定理运算，这是：

因此，实际计算出来的数字与测量出来的数字误差是万分之八，而这万分之八在古代是不可能有任何的测量方式得出来的。那么我们是否可以通过观察得知一个结论就是直角边长为3.5和4.5的直角三角形的斜边边长是5.7呢？答案当然是不可以，因为数学界里是不接受误差的，可是科学界却拥抱误差，认为世界上的任何测量都存在误差。这就是数学与科学的第一个差别。

数学和科学的第二个差别就是，科学可以用事实来证实，而数学只能用逻辑与推理证明。简单来说就是，科学有很多的定理，是可以存在不确定性与反例的。举一个例子来说吧，牛顿的第二运动定律，这个定律是只能在惯性系的运动才可以使用的，而非惯性系的运动，恐怕就优点不太适合使用了。甚至很多的科学定律也是如此，他们都存在着这些或那些的瑕疵与限制，偶尔我们还可以找到反例来说明这个科学定律的不准确性。但是大部分的情况下，这个科学定律还是可以使用的，因此我们仍然可以放心的使用这些科学定律。可是在数学上就绝对不行了，因为数学上要求的是绝对的正确，而不能有任何的反例存在。甚至连证明过程都不可以有任何的瑕疵和逻辑漏洞。这里举一个出名的例子，那就是费马这个数学家闹的笑话。这故事是这样子的，17世纪的时候，费马认为当n是自然数的时候，一定都是质数。这是他对n是0，1，2，3，4做了运算之后，发现到他的验证都得到质数的结果。18世纪时，另一个伟大的数学家欧拉却证明了当n=5的时候，却不是质数。

所以，没有完整并且严谨的证明是不可以用来当作数学定理的。甚至当我们找到数学定理中的一个反例，那么我们就可以推翻这个定理，甚至推翻了整个使用该数学定理为基础所建立出来的大厦。换言之，基本上你是不可能在现在的数学定理中找到任何的反例的。

今天和大家讲的两个数学和科学的差别，就是希望大家分得清楚这两门科系中的根本差别。科学是以生活中的观察和事实展延开来的，而数学却是以严谨和逻辑逐步证明出来的。因此，在学习这两门完全不同的科系的时候，需要保持的心态是完全不同的。对于科学，我们采用的是务实的心态来解决问题，而数学就需要我们采用严谨的逻辑思维来追根究底。这也呼应了我们昨天所说的话题。不知道大家是比较喜欢数学的严谨，还是科学的务实呢？欢迎大家在下方的留言区留言，和我分享讨论吧。

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